適当に暗記していたものだからすべて忘れていた。「入門微分積分」の第五回より、導出のノートを取り直したのを書いておく。
逆関数の導関数
関数 [tex: \displaystyle y = f(x)] が区間 [tex: I] で微分可能な狭義単調関数とする。このとき、 [tex: \displaystyle f(I)] の逆関数 [tex: \displaystyle x = f^{-1}(y)] は、 [tex: \displaystyle f’(x) = 0] なる [tex: \displaystyle x] に対応する [tex: \displaystyle y] 以外の点において微分可能で、
[tex: \displaystyle \frac{df^{-1}(y)}{dy} = \frac{1}{f’(x)}]
が成り立つ。
逆正弦関数
[tex: \displaystyle y = \arcsin(x)] は、定義域を [tex: \displaystyle [-1, 1]] 、値域を [tex: \displaystyle [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]] とする。 [tex: y] がこの範囲にあるとき、 [tex: \displaystyle \cos{y} \geq 0] である。 [tex: \displaystyle x = \sin{y}] で、 [tex: \displaystyle \frac{dx}{dy} = (\sin{y})’ = \cos{y} \geq 0] である。
[tex: \displaystyle (\arcsin{x})’ \\ \displaystyle = \frac{1}{(\sin{y})’} \\ \displaystyle = \frac{1}{\cos{y}} \\ \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2}{y}}} \\ \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}]
逆余弦関数
[tex: \displaystyle y = \arccos(x)] は、定義域を [tex: \displaystyle [-1, 1]] 、値域を [tex: \displaystyle [0, \pi]] とする。 [tex: y] がこの範囲にあるとき、 [tex: \displaystyle \sin{y} \geq 0] である。 [tex: \displaystyle x = \cos{y}] で、 [tex: \displaystyle \frac{dx}{dy} = (\cos{y})’ = -\sin{y} \leq 0] である。
[tex: \displaystyle (\arccos{x})’ \\ \displaystyle = \frac{1}{(\cos{y})’} \\ \displaystyle = \frac{1}{-\sin{y}} \\ \displaystyle = -\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^{2}{y}}} \\ \displaystyle = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}]
逆正接関数
[tex: \displaystyle y = \arctan(x)] は、定義域を [tex: \displaystyle [-\infty, \infty]] 、値域を [tex: \displaystyle [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]] とする。 [tex: \displaystyle x = \tan{y}] で、 [tex: \displaystyle \frac{dx}{dy} = (\tan{y})’ = \frac{1}{\cos^{2}{y}} = 1 + \tan^{2}{y}] である。
[tex: \displaystyle (\arctan{x})’ \\ \displaystyle = \frac{1}{(\tan{y})’} \\ \displaystyle = \frac{1}{1 + \tan^{2}{y}} \\ \displaystyle = \frac{1}{1 + x^{2}}]