放送大学の「入門微分積分 ‘16」第五課を読んでいる。ネイピア数の導関数が次のようになることを知った。
[tex: \displaystyle (e^{x})’ = e^{x} ]
証明を一読して（わけわからんやん…）となってしまっていたところ、じっくりと精読していたら論理をはっきりと見抜くことができた。きちんと読めばわかるというのが嬉しく、その気持ちのまま自分のためのまとめとして記録する。
前提
[tex: \displaystyle \lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e ]
証明
[tex: \displaystyle \lim_{x \to -\infty}(1+\frac{1}{x})^{x} = e] の導出
[tex: \displaystyle x=-t ] とおくと
[tex: \displaystyle (1+\frac{1}{x})^{x} \\displaystyle = (1-\frac{1}{t})^{-t} = (\frac{t-1}{t})^{-t} \\displaystyle = (\frac{t}{t-1})^{t} = (\frac{t-1+1}{t-1})^{t} = (1+\frac{1}{t-1})^{t} \\displaystyle = (1+\frac{1}{t-1})^{t-1}(1+\frac{1}{t-1}) ]
である。[tex:x \to -\infty] のとき [tex: t \to \infty, t - 1 \to \infty] であるから
[tex: \displaystyle \lim_{x \to -\infty}(1+\frac{1}{x})^{x} \\displaystyle = \lim_{t-1 \to \infty}(1+\frac{1}{t-1})^{t-1}(1+\frac{1}{t-1}) \\displaystyle = \lim_{t-1 \to \infty}(1+\frac{1}{t-1})^{t-1} \cdot \lim_{t-1 \to \infty}(1+\frac{1}{t-1}) \\displaystyle = e \cdot 1 = e ]
となる。
[tex: \displaystyle \lim_{k \to 0}(1+k)^{\frac{1}{k}} = e] の導出
[tex: \displaystyle x = \frac{1}{k}] とおけば、 [tex:x \to \infty, x \to -\infty] の極限を用いて
[tex: \displaystyle \lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^{x} = \lim_{\frac{1}{k} \to \infty}(1+k)^{\frac{1}{k}} = \lim_{k \to +0}(1+k)^{\frac{1}{k}} = e ]
[tex: \displaystyle \lim_{x \to -\infty}(1+\frac{1}{x})^{x} = \lim_{\frac{1}{k} \to -\infty}(1+k)^{\frac{1}{k}} = \lim_{k \to -0}(1+k)^{\frac{1}{k}} = e ]
より、右極限と左極限が導ける。よって次の極限
[tex: \displaystyle \lim_{k \to 0}(1+k)^{\frac{1}{k}} = e ]
が成り立つ。
[tex: \displaystyle \lim_{k \to 0}\frac{k}{\log{}(1+k)} = 1] の導出
[tex: \displaystyle \frac{k}{\log{}(1+k)} = \frac{1}{\frac{1}{k}\log{}(1+k)} = \frac{1}{\log_{}(1+k)^{\frac{1}{k}}}]
のように式変形を施しておく。これの [tex: k \to 0] の極限は
[tex: \displaystyle \lim_{k \to 0}\frac{k}{\log{}(1+k)} = \lim_{k \to 0}\frac{1}{\log_{}(1+k)^{\frac{1}{k}}} \\displaystyle = \frac{1}{\displaystyle \log_{}(\lim_{k \to 0}(1+k)^{\frac{1}{k}})} \\displaystyle = \frac{1}{\log_{}e} = 1 ]
と導ける。
[tex: \displaystyle (e^{x})’ = e^{x}] の導出
ここまでを準備として、 [tex: \displaystyle (e^{x})’] を計算する。
導関数の定義より
[tex: \displaystyle (e^{x})’ = \lim_{h \to 0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h} = e^{x} \lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h} ]
である。ここで [tex: \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h}] を求められれば、導関数は求められそうである。
[tex: \displaystyle k = e^{h} - 1] とおくと [tex: h \to 0] のとき [tex: k \to 0] である。また対数の定義より [tex: \displaystyle h = \log{}(e^{h})] であるので
[tex: \displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h} \\displaystyle = \lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{\log{}(e^{h})} \\displaystyle = \lim_{k \to 0}\frac{k}{\log_{}(1+k)} \\displaystyle = 1 ]
結論
以上より
[tex: \displaystyle (e^{x})’ = e^{x} \lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h} = e^{x} \cdot 1 = e^{x} ]
となる。
[tex: \displaystyle (e^{x})’ = e^{x} ]
が求められた。