平方数でも三角数でもある最初の 2 つの数は 1 と 36 である。次に小さな例を見つけよう。できれば、その次の例も見つけよう。三角数でありかつ平方数でもある数を見つける有効な方法を見つけることはできるだろうか？ こうした性質をもつ数は無数にあると考えられるか？
– ジョセフ・H・シルヴァーマン 著, 鈴木治郎 訳, 『はじめての数論』練習問題 1.1 より
『はじめての数論』を読んでいる。コンピュータの使用について、節度を守って使うよう前書きで注意されていた。プログラムで答えを知るだけでは理解したとはいえない、という読者への警句である。
考えたこと
で、冒頭の練習問題である。著者の指示を守って、コンピュータは使わずに計算するところから始めた。「次に小さな例」が 1225 であることは見つけられた。しかし結局「その次の例」には手計算では辿り着けず、プログラムを書いた。
1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, …
こういう数列をえられた。しかし、次の数を探索する「有効な方法」については、結局プログラムに頼るのが有効、ということしかいえなかった。そして、この数列が無限に続くかどうかには答えを見つけられなかった…。
答え合わせ
wikipedia に 平方三角数 の項目があった。この呼称も初めて知った。
一般項が与えられていたから、いちおう自分でも計算してみた。当たり前だが、きちんと答えが求められた。
公式を導く手順については、手続きに組み込まれた「ペル方程式」をそもそも知らず、追いきれなかった。ただ、いまは少なくとも名前と形は認識したから、きっと近いうちに学ぶことになるだろう。いまはまだそこまでは踏み込んでいない。
とはいえ、 [tex: \dfrac{n(n+1)}{2}=m^{2}] の形で式を立てるところまでは、初見でも不足なかったはず。そもそも愚直に計算するプログラムを作るところで思考が止まっていて、立式してみるという発想を持てていなかった。思考がコンピュータに依存している傾向の現れであって、これに対してこそ著者は警鐘を鳴らしていたのだろう。つまり、「単にプログラムで答えを知ることで満足してはならない」という警告は、他ならない僕に向けられていたのだった。
終わりに
こうした反省と自己批判の意識から、こうして記事に残しておく。これが記事公開にいたったひとつの動機付けである。
もうひとつは、第三の平方三角数 1225 がちょうど今日の日付とかちあっていることに不思議を覚えたため、なんとなくの記念の気持ちで書いている。
[tex: 1 + 2 + 3 + \cdots + 49 = 35^{2} = 1225]
merry christmath!